解密混凝土試體抗壓強度試驗中的奇異現象：平面應力轉換原理及莫爾圓解析
在進行混凝土試體的抗壓強度試驗時，相信大家會有一個疑問，為什麼混凝土試體的開裂面會呈現45度斜角而不是水平開裂(垂直受力方向)，其主要原理為導致材料破壞的最大應力值，並非發生於垂直受力方向之平面上，因此需透過平面應力轉換，求出最大應力值發生之位置。
平面應力轉換計算小工具
σx: ，σy: ，τxy: ，角度(deg)(逆時針為正):
何謂平面應力轉換
可以想像成同一件事情以不同角度去看，會得到不同的結果，若可以從所有的角度看就可以知道事情的全貌，因此了解平面應力轉換的目的就是可以透過平面應力轉換，從所有平面中找出最大應力值以及最大應力值所在平面之角度，藉此可以判斷最大應力值是否會使材料破壞，亦可以求出破壞面之角度為何。
何謂平面應力元素
一個應力元素具有不受力面(自由面)則稱之為平面應力元素，常見的平面應力元素例如空心的壓力容器，如果沒有外加應力在容器表面則，應力將集中在壓力容器的表面上，為平面應力態如下圖所示。
平面應力轉換公式
平面應力轉換公式可以表示成
σx+σy=σx’+σy’
σy’=(σx+σy)/2-((σx-σy)/2)cos2θ-τxysin2θ
σx’=(σx+σy)/2+((σx-σy)/2)cos2θ+τxysin2θ
τx’y’=-((σx-σy)/2)sin2θ+τxycos2θ
其中
σx :表示所在平面x軸之正向應力
σy:表示所在平面y軸之正向應力
σx’:表示所轉換之平面x’軸之正向應力
σy’:表示所轉換之平面y’軸之正向應力
τxy:表示作用於x面上作用方向y之剪應力
*剪應力有兩個下標，第一個下標代表作用的面，第二個下標代表作用方向
透過上述公式解聯立後即可求出轉換後之應力大小
平面主應力與平面最大剪應力
*主軸應力發生之平面必無剪應力
平面主應力公式如下:
σmax,σmin=(σx+σy)/2+,-sqrt(((σx-σy)/2)^2+τxy^2)
絕對值最大即為最大主應力值，最小則為最小主應力值。
平面主應力所在之夾角:
當 tan2θp=2τxy/(σx-σy)
在 x軸夾 θp角度的方向 σx' 時有極值。
且因 tan2θp=tan(2θp+π)，所以可以得知極值有2個且相差90度，所求出之2θp角其上之主應力值必與σx較接近，因此一個為最大主軸應力(絕對值最大)，另一個為最小主軸應力(絕對值最小)。
平面最大剪應力公式如下:
sqrt(((σx-σy)/2)^2+τxy^2)
最大剪應力發生時，正向應力值為(σmax+σmin)/2
平面最大剪應力所在之夾角:
當 tan2θs=-(σx-σy)/2τxy 時
存在最大剪應力
所求之θs其上之τmax正負與 τxy相同
何謂莫爾圓
莫爾圓其實不算是圓，而是一種針對平面應力轉換公式的圖解法，透過莫爾圓能夠將複雜的平面應力轉換公式簡易化，以正向應力值為x軸，剪應力值為y軸，繪製而得之正向應力與剪應力關係圖形。
莫爾圓的繪製方式及步驟
1.繪製坐標軸以及決定符號系統
首先需要先確定座標軸及符號系統，有幾種常見的系統，本文為了避免混淆僅介紹一種常用的系統
正向應力，以拉力為正，壓力為負;剪應力以x面為基準逆時針轉為正，順時針轉為負，坐標軸剪應力τ向下為正，如下圖所示
2.計算圓心位置及半徑並繪製莫爾圓
莫爾圓的圓心及半徑大小分別如下所示
圓心座標: ((σx+σy)/2,0)
半徑: sqrt(((σx-σy)/2)^2+τxy^2)
3.找出平面應力態於圓上之點
將已知的正向應力值以及剪應力值繪製於圓上，如下圖所示
4.求待平面之應力轉換值
透過將已知的正向應力值以及剪應力值繪製於圓上，即可透過待轉換之角度或應力值，以圓之幾何關係算出待求之應力狀態或夾角，不過須特別注意如果平面應力態之轉換角度為θ則在莫爾圓上為2θ之位置。如下圖所示以平面應力元素A面(對應莫爾圓之A點)為例，平面應力元素逆時針旋轉θ角時，對應到c面，莫爾圓上則旋轉了2θ角。
參考:
材料力學 - Ch25 莫爾氏圓 Mohr’s circle
