土木力學中靜定與靜不定度:判斷方法與實例解析
靜定結構(statically determinate structure)與靜不定結構(statically indeterminate structure)，在土木力學中所定義的是靜力條件的，而機械領域中所指的靜定結構就又不一樣，本文著重於土木力學所指的靜力條件下的靜定結構與靜不定結構
靜定與靜不定結構之定義
在土木力學中靜定的定義為，可以僅依據外力作用條件(透過靜力平衡方程式)決定結構的受力情況，從物理意義為維持結構穩定的基本條件，也就是當結構有某桿件受損無法作用，則結構就會破壞。
靜不定的定義則是無法僅依據外力作用條件(透過靜力平衡方程式)決定結構的受力情形，還必須加入結構受力後的變形條件，才能夠求解，其物理意義就是比靜定結構有更多的約束條件，因此當結構有某桿件受損無法作用，則結構不會破壞。
1次靜不定壞1根桿件會變成靜定結構，同理2次靜不定，壞1根桿件會變成1次靜不定，以此類推….，因此為了保障我們的生命安全我們生活中所住的建築物都是高度靜不定的結構。
不穩定結構
不穩定結構可以分成內在及外在幾何的不穩定
外在幾何不穩定
發生情形例如:支承反力平行、支承反力共點…等
內在幾何不穩定
發生情形例如:三個鉸接共線….等
穩定基本結構
要判斷靜不定結構，首先要先了解什麼是基本結構，再從基本結構延伸即可判斷結構之靜不定度為何?
靜不定結構之判別
靜不定結構的判斷方法主要有兩種，一種為公式法，另種為基本靜定結構衍生法，其中公式法雖然可以帶入公式去做計算感覺起來可以無腦的做，但公式法並非所有結構都適用(例如:組合構件)，且可能會有例外(如圖所示)。相反的基本靜定結構衍生法判斷因為是從穩定基本結構做延伸，因此都可以解，只是結構之觀察判斷需做練習。
公式法判斷(並非全部可以解且有例外情形，使用上需注意):
桁架(truss)
n=b+r-2j
其中b為桁架中桿件的數量
r為支承反力的數量
j為節點數，其中公式中j的係數為2是因為2D桁架中鉸接的力平衡方程式會有2條，分別是x方向力平衡以及y方向力平衡。
如果n=0，則為靜定結構
n>0則為靜不定結構，超過數量則為靜不定數
構架(frame)
透過自由體圖分離結構體(建議將結構之鉸接處切開)，分離而得之結構數量為n，r則為所得分離體圖未知力數量
r-3n>0 靜不定結構，超過的數量則為靜不定次數。
r-3n=0 靜定結構
相信有些人應該有注意到3n的原因是因為如果考慮平面狀態，力平衡方程式會有三條分別是x方向力平衡、y方向力平衡以及彎矩平衡，因此如果反力未知數剛好等於力平衡方程式的數量則可以解，為靜定;反之如果未知數數量大於方程式數量則無法直接求解，還需要其他條件，為靜不定，未知數超過的數量則為靜不定次數。
基本靜定結構衍生法
先從穩定基本結構開始，並以該基本結構往外以基本結構擴展，所得之結構即為靜定結構，因此可以透過該結構與所求結構約束條件數量之差距即可判斷靜不定度為何。
基本靜定結構
以下三個為最基本的基本靜定結構
基本靜定結構衍生法建議可以參考徐德修老師的教學，雖然影像有點模糊，但概念很清楚。
桁架之判別
公式法與基本靜定結構衍生法之判斷範例
構架
如上圖所示此結構桿件數n=2，支承反力數r=8(固定端=3*2(2個固定端)=6，鉸接=2)，因此由公式法計算r-3n=2，所以為超2次靜不定。
同一題如果使用靜定結構衍伸法則可以看到，右邊第一張圖紅色線範圍為基本靜定結構，並且由基本靜定結構向外延伸另一個基本靜定結構(簡支梁)，此時為靜定，而題目中並非為靜定狀態的滾接，而是約束更多的固定端(如右邊第三張圖綠色線範圍)，，固定端比滾接多2個約束條件，因此為2次靜不定。
桁架
如上圖所示此結構桿件數b=6，支承反力數r=3(鉸支承=2，滾支承=1)，節點數j=4，因此由公式法計算b+r-2j=1，所以為超1次靜不定。
同一題如果使用靜定結構衍伸法則可以看到，右邊第一張圖紅色線範圍為基本靜定結構，並且由基本靜定結構向外延伸另一個基本靜定結構(三鉸拱，右邊第二張圖紅色線範圍)，此時為靜定，而題目中還多了一根桿件(如右邊第三張圖綠色線範圍)，因此為1次靜不定。
公式法例外情形
以構架為例，如下圖所示如果以公式法做計算，圖(a)及圖(b)所求得之值均為0為靜定結構，但因為下圖(b)有三鉸共線的問題，因此圖(b)有內部不穩定的問題，所以為不穩定結構。
參考資料
1.Structural-Analysis-Eighth-Edition-R.-C.-Hibbeler
