單擺週期公式怎麼來？從受力分析到小角度近似完整解說
單擺週期是什麼？為什麼會這樣？這篇搭配一支完整的動畫解說影片，帶你一步步看懂單擺週期的原理、推導與實例。
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單擺週期的完整解析
伽利略與比薩大教堂的吊燈
相傳在十六世紀末，年輕的伽利略在比薩大教堂裡注意到一盞被風吹動的吊燈。當時沒有精準的時鐘，他便用自己的脈搏來計時，結果發現一個違反直覺的現象：吊燈擺動的幅度越來越小，但每來回一次所花的脈搏數幾乎沒有改變。
這個觀察後來被稱為單擺的「等時性」，也是之後惠更斯發明擺鐘的關鍵。人類第一次有了誤差只有每天幾十秒的計時工具，航海、天文與物理實驗都因此大幅進步。
什麼是單擺：理想化的模型
物理上的「單擺」是一個簡化模型：一條長度為 L、不會伸長而且質量可以忽略的細繩，一端固定，另一端吊著一顆可以視為質點的小球。我們也假設沒有空氣阻力、支點沒有摩擦。
現實中的鞦韆、吊燈、擺鐘都不完全符合這些假設，但只要繩子夠輕、擺錘夠小而重，這個模型的預測就會非常準確。物理學常常這樣做：先抓住最重要的因素，再回頭討論被忽略的細節。
受力分析：誰把擺錘拉回來
把擺錘拉開一個角度 θ 後放手，它只受到兩個力：沿著繩子指向支點的張力，以及垂直向下的重力 mg。張力永遠垂直於擺錘的運動方向，所以不會讓擺錘沿著圓弧加速或減速。
把重力拆成兩個分量：沿著繩子方向的 mg cos θ 會和張力一起提供圓周運動所需的向心力；沿著圓弧切線方向的 mg sin θ 才是讓擺錘回到最低點的「恢復力」。角度越大，恢復力越大，而且方向永遠指回平衡位置，這正是會產生來回振盪的原因。
從牛頓第二定律到運動方程式
沿著圓弧方向套用牛頓第二定律：質量乘以切線加速度，等於恢復力 −mg sin θ。擺錘走過的弧長是 s = Lθ，所以切線加速度就是 L 乘上 θ 對時間的二次微分。
整理後得到 θ 的二次微分等於 −(g/L) sin θ。值得注意的是，等號兩邊的質量 m 剛好互相消去。這就是為什麼不論擺錘是鐵球還是木球，只要擺長相同，擺動的節奏就一樣。這也和伽利略「重的物體與輕的物體同時落地」的結論出自同一個原因：重力造成的加速度與質量無關。
小角度近似與週期公式
上面的方程式因為含有 sin θ，無法用初等函數求出精確解。不過當角度很小時，sin θ 和 θ（以弧度計）幾乎相等，例如 10 度時兩者只差約 0.5%。把 sin θ 換成 θ，方程式就變成簡諧運動的標準形式。
簡諧運動的角頻率是 ω = √(g/L)，週期 T = 2π/ω = 2π√(L/g)。這個公式說明週期只取決於擺長 L 和重力加速度 g：擺長變成四倍，週期變成兩倍；在重力只有地球六分之一的月球上，同一個擺的週期會變成約 2.45 倍。
等時性的極限：大角度時會怎樣
要特別注意，「週期與擺幅無關」只在小角度時成立。當擺幅變大，sin θ 明顯小於 θ，恢復力比簡諧近似預測的小，擺錘回來得比較慢，週期因此變長。
精確計算需要用到橢圓積分。結果顯示，擺幅 45 度時週期約比小角度時長 4%，擺幅 90 度時約長 18%。這也是精密擺鐘只讓擺錘做很小幅度擺動的原因；惠更斯甚至設計了擺線形的擋板，讓擺錘在任何幅度下都真正等時。
動手做：用手機測量重力加速度
單擺公式也可以反過來用：只要量出擺長與週期，就能算出當地的重力加速度 g = 4π²L/T²。找一條細線綁上一個重物，量好從支點到重物中心的長度，拉開不超過 10 度後放手，用手機碼表量 20 次擺動的總時間再除以 20，就能大幅降低按碼表的反應誤差。
以一公尺長的擺為例，週期大約是 2.0 秒，算出的 g 應該接近 9.8 m/s²。如果結果偏差很大，通常是擺長量錯（忘了算到重物中心）或擺幅太大。這個簡單的實驗，就是幾百年前科學家測量地球重力的方法之一。
重點整理
- 一五八三年，比薩大教堂裡的一盞吊燈被風吹得左右搖晃。
- 先把吊燈簡化成一個模型：一條不會伸長、也沒有重量的細繩，長度是 L，下面掛著質量 m 的小…
- 接著套用牛頓第二定律。
- 可是這條方程式裡有 sin θ，沒辦法用簡單的函數解出來。
- 換上這個近似，方程式就變成熟悉的簡諧運動，角頻率是根號 g 除以 L，週期等於二派根號 L…
- 不過要記得，週期和擺幅無關只在小角度時成立。
- 最後，這個公式也可以反過來用。
