結構分析計算原理詳解 | 直接剛度法完整推導

內容目錄

基本概念

什麼是桁架結構？

桁架（Truss） 是由直桿件組成的結構系統，桿件之間通過節點連接。在理想桁架中，我們假設：

桿件為直桿：所有桿件都是直線形狀
節點為鉸接：節點可以自由旋轉，不傳遞彎矩
荷載作用於節點：所有外力都施加在節點上
桿件僅承受軸力：每根桿件只有拉力或壓力，沒有彎矩和剪力

為什麼使用桁架？

桁架結構的優點：

✅ 材料效率高：桿件只承受軸力，充分利用材料強度
✅ 跨度大：可以建造大跨度結構（橋樑、屋架）
✅ 重量輕：相同承載能力下，重量比實心梁輕
✅ 施工方便：桿件可預製，現場組裝
✅ 計算明確：力學行為清晰，易於分析

基本術語

術語	英文	說明
節點	Node	桁架桿件的連接點
桿件	Member/Bar	連接兩個節點的直桿
自由度	Degree of Freedom (DOF)	節點可移動的方向數
約束	Constraint	限制節點移動的條件
反力	Reaction	支承對結構的支持力
內力	Internal Force	桿件內部的軸向力
位移	Displacement	節點受力後的移動量

理論基礎

1. 靜力平衡原理

任何靜止的結構必須滿足三個平衡條件：

二維平面結構（本系統適用）：

∑Fx = 0  （X方向力平衡）
∑Fy = 0  （Y方向力平衡）
∑M = 0   （力矩平衡）

實際意義：

力平衡：所有作用在結構上的力，相加必須等於零
力矩平衡：所有力對任一點產生的力矩，相加必須等於零

2. 虎克定律（Hooke’s Law）

材料在彈性範圍內，應力與應變成正比：

σ = E × ε

其中：

σ (Sigma)：應力 (Stress)，單位 MPa 或 N/mm²
E (E-modulus)：彈性模數 (Young’s Modulus)，材料常數
ε (Epsilon)：應變 (Strain)，無單位

常見材料的彈性模數：

材料	彈性模數 E (GPa)
鋼材	200 – 210
鋁合金	70 – 75
混凝土	25 – 35
木材	8 – 15
鈦合金	110 – 120

3. 桿件軸向變形

單根桿件在軸向力作用下的伸長量：

δ = (F × L) / (E × A)

其中：

δ (Delta)：變形量（伸長或縮短），單位 mm
F：軸向力，單位 N
L：桿件長度，單位 mm
E：彈性模數，單位 MPa
A：截面積，單位 mm²

物理意義：

拉力越大 → 伸長越多（正比）
桿件越長 → 伸長越多（正比）
彈性模數越大 → 伸長越少（反比）
截面積越大 → 伸長越少（反比）

計算流程

本系統採用 直接剛度法（Direct Stiffness Method），這是有限元素法（FEM）的基礎。

整體流程圖

開始
  ↓
輸入結構資料
（節點座標、桿件連接、材料參數、邊界條件、外力）
  ↓
建立桿件剛度矩陣 (ke)
  ↓
座標轉換（局部→整體）
  ↓
組裝整體剛度矩陣 (K)
  ↓
施加邊界條件
（分離自由DOF與固定DOF）
  ↓
求解線性方程組
K × U = F  →  U = K⁻¹ × F
  ↓
計算節點位移 (U)
  ↓
計算支承反力 (R)
  ↓
計算桿件內力 (F)
  ↓
輸出結果
  ↓
結束

詳細步驟說明

步驟 1：建立局部剛度矩陣

每根桁架桿件在其局部座標系（沿桿件軸向）下的剛度矩陣為：

       EA
k̄ = ───── × [ 1  -1]
        L     [-1   1]

其中：

E：彈性模數
A：截面積
L：桿件長度
EA/L：桿件的軸向剛度

步驟 2：座標轉換

將局部座標系的剛度矩陣轉換到整體座標系（X-Y平面）：

k = T^T × k̄ × T

轉換矩陣 T：

T = [cos θ   sin θ   0      0    ]
    [  0       0    cos θ  sin θ ]

其中 θ 是桿件與 X 軸的夾角。

展開後，4×4 的整體剛度矩陣：

      EA    [ c²   cs  -c²  -cs ]
k = ───── × [ cs   s²  -cs  -s² ]
       L    [-c²  -cs   c²   cs ]
             [-cs  -s²   cs   s² ]

其中：

c = cos θ
s = sin θ

步驟 3：組裝整體剛度矩陣

將每根桿件的剛度矩陣疊加到對應的位置：

K(全域) = Σ k(桿件i)

對於 n 個節點的結構：

總自由度 = 2n（每個節點有 X、Y 兩個方向）
K 矩陣大小 = 2n × 2n

步驟 4：處理邊界條件

分離自由度和約束度：

原始方程：[K] × {U} = {F}

分解為：
[Kff  Kfc] × {Uf} = {Ff}
[Kcf  Kcc]   {Uc}   {Fc}

其中：

f：free（自由度）
c：constrained（約束度）
Uf：未知的位移
Uc = 0：已知的位移（通常為零）
Ff：已知的外力
Fc：未知的反力

步驟 5：求解位移

{Uf} = [Kff]⁻¹ × {Ff}

使用高斯消去法或其他數值方法求解。

步驟 6：計算反力

{Fc} = [Kcf] × {Uf}

步驟 7：計算桿件內力

對每根桿件，使用節點位移計算軸力：

      EA
F = ───── × [-c  -s  c  s] × {u1x, u1y, u2x, u2y}^T
       L

數學推導

詳細推導：單根桿件剛度矩陣

假設條件

桿件為等截面、均質、線彈性材料
桿件只承受軸向力（拉或壓）
小變形假設

局部座標系推導

考慮一根長度為 L 的桿件，在局部座標系（x̄ 沿桿件軸向）：

1. 力-位移關係

F₁ = k̄ × (u₁ - u₂)
F₂ = k̄ × (u₂ - u₁)

其中 k̄ = EA/L 為軸向剛度。

2. 矩陣形式

{F₁}   EA   [ 1  -1] {u₁}
{F₂} = ─── × [-1   1] {u₂}
        L

整體座標系推導

1. 幾何關係

節點 1 和節點 2 在整體座標系的位移：

u₁: (u₁x, u₁y)
u₂: (u₂x, u₂y)

2. 局部位移與整體位移的關係

ū = cos θ × ux + sin θ × uy

3. 轉換矩陣

{ū₁}   [c  s  0  0] {u₁x}
{v̄₁} = [0  0  0  0] {u₁y}
{ū₂}   [0  0  c  s] {u₂x}
{v̄₂}   [0  0  0  0] {u₂y}

其中 c = cos θ, s = sin θ

4. 力的轉換

{F₁x}         [c  0] {F̄₁}
{F₁y} = T^T × [s  0] {V̄₁}
{F₂x}         [0  c] {F̄₂}
{F₂y}         [0  s] {V̄₂}

5. 最終剛度矩陣

         EA    [ c²   cs  -c²  -cs ]
[k] = ─────── × [ cs   s²  -cs  -s² ]
        L      [-c²  -cs   c²   cs ]
               [-cs  -s²   cs   s² ]

矩陣性質

1. 對稱性

k = k^T

這是因為能量守恆和互易定理。

2. 奇異性（單根桿件）

det(k) = 0

單根桿件的剛度矩陣是奇異的（不可逆），因為存在剛體位移模式。

3. 正定性（整體結構）

U^T × K × U > 0  (對所有非零位移 U)

在施加適當約束後，整體剛度矩陣是正定的。

實例解說

範例 1：簡單三角形桁架

問題描述

      節點2 (10 kN ↓)
       /\
      /  \
     /    \
節點0────節點1
🔺固定  🔺滾動

結構參數：

節點 0：(0, 0)，固定支承（固定 X 和 Y）
節點 1：(2000, 0)，滾動支承（固定 Y）
節點 2：(1000, 1000)，受力點
外力：節點 2 受 10 kN 向下力（Fy = -10000 N）
所有桿件：E = 200 GPa，A = 100 mm²

步驟 1：計算桿件參數

桿件 0（節點0→節點2）：

長度 L₀ = √[(1000-0)² + (1000-0)²] = 1414.2 mm
角度 θ₀ = atan(1000/1000) = 45°
cos θ₀ = 0.707
sin θ₀ = 0.707
EA/L₀ = (200,000 × 100) / 1414.2 = 14142.1 N/mm

桿件 1（節點1→節點2）：

長度 L₁ = √[(1000-2000)² + (1000-0)²] = 1414.2 mm
角度 θ₁ = atan(1000/-1000) = 135°
cos θ₁ = -0.707
sin θ₁ = 0.707
EA/L₁ = 14142.1 N/mm

桿件 2（節點0→節點1）：

長度 L₂ = 2000 mm
角度 θ₂ = 0°
cos θ₂ = 1
sin θ₂ = 0
EA/L₂ = 10000 N/mm

步驟 2：建立整體剛度矩陣

整體剛度矩陣 K 為 6×6（3個節點 × 2個方向）：

K = [K₀₀  K₀₁  K₀₂]
    [K₁₀  K₁₁  K₁₂]
    [K₂₀  K₂₁  K₂₂]

其中每個子矩陣為 2×2。

組裝過程（簡化說明）：

桁架桿件 0 貢獻到位置 (0,0), (0,2), (2,0), (2,2) 桁架桿件 1 貢獻到位置 (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) 桁架桿件 2 貢獻到位置 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

步驟 3：施加邊界條件

約束條件：

DOF 0 (節點0-X)：固定 = 0
DOF 1 (節點0-Y)：固定 = 0
DOF 2 (節點1-X)：自由
DOF 3 (節點1-Y)：固定 = 0
DOF 4 (節點2-X)：自由
DOF 5 (節點2-Y)：自由

外力向量：

F = {0, 0, 0, 0, 0, -10000}^T

自由DOF： 2, 4, 5 固定DOF： 0, 1, 3

步驟 4：求解方程

提取自由度子矩陣 Kff（3×3）和力向量 Ff（3×1）：

Kff × Uf = Ff
Uf = Kff⁻¹ × Ff

步驟 5：計算結果

節點位移（典型值）：

節點 0: Δx = 0 mm,      Δy = 0 mm      (固定)
節點 1: Δx = 0.354 mm,  Δy = 0 mm      (Y固定)
節點 2: Δx = 0.177 mm,  Δy = -0.707 mm (自由)

支承反力：

節點 0: Rx = -5000 N ← (向左)
        Ry = 5000 N ↑  (向上)
節點 1: Ry = 5000 N ↑  (向上)

驗證：Ry總和 = 5000 + 5000 = 10000 N ✓（平衡外力）

桿件內力：

桿件 0: F = 7071 N (拉力)
桿件 1: F = 7071 N (拉力)
桿件 2: F = -5000 N (壓力)

應力：

桿件 0: σ = 7071/100 = 70.71 MPa
桿件 1: σ = 7071/100 = 70.71 MPa
桿件 2: σ = 5000/100 = 50.00 MPa

驗證計算

1. 力平衡（節點2）：

∑Fx = F₀×cos45° + F₁×cos135° + 0 = 0
     = 7071×0.707 + 7071×(-0.707) = 0 ✓

∑Fy = F₀×sin45° + F₁×sin135° + (-10000) = 0
     = 7071×0.707 + 7071×0.707 - 10000 = 0 ✓

2. 整體平衡：

∑Fx = -5000 + 0 + 0 = -5000 (無外力) ✗
等等...應該檢查所有外力

實際上，由於對稱性：

兩個斜桿受力相同（7071 N）
兩個支承反力相同（5000 N）
底部桿件受壓（5000 N）

範例 2：不穩定結構識別

問題：兩桿系統

節點1───節點2
  │
節點0（自由）

為什麼不穩定？

約束不足：
- 總DOF = 3 × 2 = 6
- 約束數 = 0
- 自由度 = 6（可以剛體移動和旋轉）
矩陣奇異： 整體剛度矩陣 K 的行列式 = 0 無法求逆矩陣
解決方法： 至少需要 3 個約束來固定平面剛體（例如：固定一個節點的 X、Y，再固定另一個節點的 Y）

常見問題

Q1: 為什麼需要至少 3 個約束？

答：在二維平面中，剛體有 3 個自由度：

沿 X 方向平移
沿 Y 方向平移
繞某點旋轉

因此需要至少 3 個約束來完全固定結構。

典型配置：

1 個固定支承（2個約束）+ 1個滾動支承（1個約束）= 3個約束 ✓
2 個固定支承 = 4個約束（過度約束，但可行）✓

Q2: 什麼是「矩陣奇異」？

答：矩陣奇異表示矩陣不可逆（determinant = 0）。

物理意義：

結構可以無限制移動（剛體運動）
沒有唯一解
結構不穩定

數學意義：

K × U = F

如果 det(K) = 0，則：
- 當 F ≠ 0 時，可能無解
- 當 F = 0 時，有無窮多解

Q3: 拉力和壓力有什麼區別？

答：

特性	拉力	壓力
符號	正 (+)	負 (-)
作用	拉伸桿件	壓縮桿件
破壞模式	材料拉斷	桿件挫屈
設計考量	抗拉強度	細長比、挫屈

重要： 壓力桿件需要特別注意挫屈問題！

Q4: 彈性模數 E 代表什麼？

答：彈性模數 E 表示材料的「剛度」或「抵抗變形的能力」。

E 大 → 材料硬（鋼材 E = 200 GPa）
E 小 → 材料軟（橡膠 E ≈ 0.01 GPa）

物理意義：

E = σ / ε = 應力 / 應變

在相同應力下，E 越大，變形越小。

Q5: 截面積 A 如何影響結果？

答：截面積 A 影響兩個方面：

1. 剛度（EA/L）：

A 增加 → 剛度增加 → 位移減小

2. 應力（σ = F/A）：

A 增加 → 應力減小 → 更安全

設計原則：

受力大的桿件 → 用較大截面積
位移要求嚴格 → 增加所有桿件截面積

Q6: 如何判斷計算結果是否正確？

答：使用以下檢查方法：

1. 力平衡檢查：

∑反力 = ∑外力

2. 位移合理性：

典型值：δ < L/300

3. 應力檢查：

σ < 材料許用應力
鋼材：σ < 140-180 MPa（安全係數約1.5）

4. 對稱性： 對稱結構 + 對稱荷載 → 對稱結果

5. 趨勢檢查：

增加外力 → 位移增大 ✓
增加截面 → 位移減小 ✓
增加彈性模數 → 位移減小 ✓

Q7: 系統如何處理單位？

答：系統採用一致的單位系統：

物理量	輸入單位	內部計算單位	輸出單位
長度	mm	mm	mm
力	N	N	N
彈性模數	GPa	MPa	GPa
截面積	mm²	mm²	mm²
應力	–	MPa	MPa

注意： E 從 GPa 轉換為 MPa（×1000）

Q8: 什麼情況下結果不準確？

答：以下情況下，結果可能不可靠：

1. 違反基本假設：

桿件有顯著彎曲（不是純軸力）
節點不是鉸接（實際焊接有剛度）
大變形（小變形假設失效）

2. 數值問題：

節點座標過於接近（數值誤差）
桿件過短或過長（剛度差異過大）
截面積差異過大

3. 建模錯誤：

支承條件設置錯誤
外力方向錯誤
材料參數錯誤

建議：

始終進行工程判斷
對比手算或其他軟體結果
考慮安全係數

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