逃逸速度是什麼？公式推導、地球 11.2 km/s 的由來與黑洞的關係
逃逸速度是什麼？為什麼會這樣？這篇搭配一支完整的動畫解說影片，帶你一步步看懂逃逸速度的原理、推導與實例。
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逃逸速度的完整解析
從牛頓的大砲說起
牛頓在《自然哲學的數學原理》相關著作中，描繪過一個著名的思想實驗：在極高的山頂上架一門大砲，水平射出砲彈。砲彈越快，落地點越遠。由於地球表面是彎曲的，如果砲彈快到「往下掉的程度」剛好跟上地面「往下彎的程度」，砲彈就會一直掉、卻永遠落不到地面，也就是進入了繞地軌道。
這個想像的厲害之處，在於它把「蘋果落地」和「月球繞地球」統一成同一件事：兩者都是在重力作用下自由落體，只是水平速度不同。人造衛星、國際太空站，其實都是一直在「掉」的物體。
軌道速度：第一宇宙速度
物體做圓周運動時，需要一個指向圓心的向心力 mv²/r。對繞地球的衛星而言，這個力由萬有引力 GMm/r² 提供。令兩者相等，得到 v = √(GM/r)。在地表附近，r 約等於地球半徑六千三百七十一公里，算出來大約是每秒七點九公里，稱為第一宇宙速度。
這個速度和衛星本身的質量無關，只和中心天體的質量與軌道半徑有關。軌道越高，所需速度越小，但繞一圈的路程變長，所以週期反而變長。地球同步衛星約在三萬六千公里高空，週期剛好一天，所以從地面看起來像是靜止不動。
為什麼要用能量來想逃逸
要讓物體完全離開地球，用力的角度不好算，因為重力會隨距離改變。換成能量的角度就簡單得多。重力位能的定義是 U = −GMm/r，負號代表「被綁住」的狀態：離地球越近，位能越低；到無限遠處，位能升到零。
物體在飛離的過程中，動能逐漸轉成位能。如果一開始的動能夠大，讓它抵達無限遠處時動能還不小於零，它就逃逸成功。也就是說，逃逸的條件是總能量（動能加位能）大於或等於零。
逃逸速度公式推導
令總能量剛好等於零：½mv² − GMm/R = 0，解出 v = √(2GM/R)，這就是逃逸速度，又稱第二宇宙速度。比較軌道速度 √(GM/R)，逃逸速度恰好是它的 √2 倍，約一點四一四倍。所以只要知道某顆星球的近地軌道速度，乘上一點四一四就能估計逃逸速度。
公式中的 m 被消掉了，意思是逃逸所需的「速度」與物體質量無關。但所需的「能量」½mv² 和質量成正比，所以發射重的太空船仍然需要更多燃料。另外，利用 g = GM/R²，公式也可改寫為 v = √(2gR)，代入 g ≈ 9.8 m/s² 與 R ≈ 6.37 × 10⁶ m，就能算出約 11.2 km/s。
各星球的逃逸速度比較
月球的質量只有地球的約八十一分之一，半徑約四分之一，逃逸速度只有約每秒二點四公里。這也是為什麼阿波羅任務的登月艙上升段，只需要一具相對小的引擎就能離開月面、和繞月軌道上的指揮艙會合。火星約為每秒五公里，木星則高達約每秒六十公里。
逃逸速度也決定了星球能不能留住大氣。氣體分子的熱運動速度如果有相當比例接近逃逸速度，長時間下來就會流失。月球幾乎沒有大氣、地球留不住大量的氫和氦，而木星這樣的大行星則保有濃厚的氫氦大氣，都和這個速度有關。
常見誤解與實際發射
第一個誤解是以為火箭必須達到每秒十一點二公里才能離開地球。其實逃逸速度描述的是「拋出後不再施力」的物體。火箭在飛行中持續噴射，理論上可以用任何速度慢慢爬升；只是持續對抗重力會浪費燃料，所以實務上仍然要盡快加速。
第二個誤解是忘了地球自轉。地表上的物體本來就跟著地球轉，在赤道上的速度約每秒零點四六公里。往東發射可以直接借用這段速度，這就是為什麼許多發射場選在低緯度地區。此外，穿越大氣層時的空氣阻力、以及發射初期的重力損失，都會讓實際所需的速度變化量高於理論值。
推到極限：黑洞與史瓦西半徑
十八世紀末，英國的米歇爾和法國的拉普拉斯各自想到：如果一顆星的質量夠大、半徑夠小，逃逸速度可能超過光速，那麼連光都逃不出來，遠方的人就看不到它。他們稱之為「暗星」，這是黑洞概念的前身。
令 √(2GM/R) = c，解出 R = 2GM/c²。巧合的是，這個用牛頓力學得到的半徑，和後來史瓦西用廣義相對論求出的黑洞事件視界半徑公式形式相同，因此稱為史瓦西半徑。太陽的史瓦西半徑約三公里，地球約九毫米。當然，黑洞的正確描述需要廣義相對論，牛頓的推導只是一個讓人直覺理解的捷徑。
從一座想像中的大砲，到宇宙中最極端的天體，逃逸速度這條簡單的公式串起了重力物理的許多核心概念，也是理解太空任務設計的第一步。
重點整理
- 一六八七年，牛頓在他的著作裡畫了一張很特別的圖：一座高山頂上架著一門大砲，往水平方向發射。
- 先算第一個速度。
- 可是繞圈還是被地球綁著。
- 把這句話寫成等式：二分之一 m v 平方，減掉 GMm 除以 R，大於等於零。
- 代入數字看看。
- 要提醒一個常見誤解：逃逸速度不是火箭必須一直維持的速度，而是一顆被「拋出去」、之後不再施力…
- 最後把公式推到極限。
